Question

（本小題滿(mǎn)分16分）
已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；
（2）若對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，是否存在，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與 在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1），所以在處的切線為
即：                         ………………………………2分
與聯(lián)立，消去得，
由知，或.       ………………………………4分
（2）
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
，故不恒成立，所以不合題意 ；………………6分
②當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以符合題意；
③當(dāng)時(shí)令，得， 當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增, 所以又，，
綜上：.                ………………………………10分
(3)當(dāng)時(shí)，由（2）知，
設(shè)，則，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，………………………………13分
令得：，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185510897257.gif" style="vertical-align:middle;" />， 所以.
令，則 ，
當(dāng)是，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，,故方程 有唯一解為1，
所以存在符合條件的，且僅有一個(gè). …………………………16分

略