Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質(zhì)和圓的弦長公式，求得，進(jìn)而可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)的方程：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和代數(shù)式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論。

（1）∵橢圓的離心率為，∴,

∵圓的圓心到直線的距離為,

∴直線被圓截得的弦長為

.

解得，故，∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，，

當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)的方程：.

由得，，

∴，，

，

當(dāng)，即時(shí)，的值與無關(guān)，此時(shí).

當(dāng)直線與軸重合且時(shí)， .

∴存在點(diǎn)，使得為定值.