Question

【題目】如圖，正三棱柱的每條棱的長(zhǎng)度都相等，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且平面.

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）由平面，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，又是棱的中點(diǎn)，可得是棱的中點(diǎn)，進(jìn)而得到四邊形是平行四邊形，，利用線面平行的判定定理即可證得平面；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，求出平面的法向量 和，利用即可得出.

（1）證明：平面，平面，

平面平面，

，又是棱的中點(diǎn)，

是棱的中點(diǎn)．

又是的中點(diǎn)，，，

四邊形是平行四邊形．

，

又平面，平面，

平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

，，

令，得，

，

直線與平面所成角的正弦值為.