Question

【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)S在C上位于x軸上方，直線與直線，分別交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程

（2）求|MN|的最小值

（3）當(dāng)最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使△TSB面積為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）4個(gè)點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)可求得，即可求得橢圓的方程；

（2）用|表示MN|，再利用基本不等式求的最小值即可；

（3）求出的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得的坐標(biāo)，再設(shè)出與直線平行的直線方程，利用直線與橢圓相切時(shí)的三角形的面積與進(jìn)行比較，即可判斷點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1），又，

，橢圓的方程為.

（2），

又，

，，

，

，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).

（3），的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得：

，，，

，

設(shè)與平行的直線為，代入橢圓方程，

整理得：，

當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，此時(shí)的高為，

的面積為，

在直線的上方存在兩個(gè)點(diǎn)，使得的面積為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，此時(shí)的高為，

的面積為，

在直線的下方存在兩個(gè)點(diǎn)，使得的面積為，

橢圓C上存4個(gè)點(diǎn)T.