Question

【題目】已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列，滿足，．且．

（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)數(shù)列，的前n項和分別為，，求使得等式成立的有序數(shù)對．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）分別求出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，進而整合數(shù)列的通項公式；

（3）求出，，代入中，則存在，使得，，從而，再證明不成立，從而得到，，．

（1）由得，

即．

因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，即，

故數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．

（2）由（1）及知．

由，得．

所以，上面兩式相除得，

所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公比為4的等比數(shù)列．

由及知，所以，，

所以．

綜上，數(shù)列的通項公式為．

（3）由（1）和（2）知，．

由，得，即．

則必存在，使得，，從而．

若，則，故．

又因為，所以．

這與矛盾，所以．由于，則只能，

此時，．