Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點(diǎn)，F是DC上一點(diǎn)，G是PC上一點(diǎn)，且，.

（1）求證：平面平面PAB；

（2）若，，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）從線面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線，找到直線PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解.

（1）如圖，取的中點(diǎn)M，連接MD，ME，

則，.

又，，所以，，

所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.

因?yàn)?/span>平面PAD，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面PAB，

所以平面PAB.

又平面EFG，所以平面平面PAB.

（2）解法—：過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA所在直線為x軸，過點(diǎn)H且平行于AB的直線為y軸，PH所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在等腰三角形PAD中，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，則，

所以，，所以.

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，

所以，

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

解法二：由（1）可知平面PAD，

因?yàn)?/span>平面PAD，所以.

在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.

過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，連接HB，則是直線PB與平面ABCD所成的角.

在等腰三角形PAD中，，，

因?yàn)?/span>，所以，解得，在直角三角形PHB中，.

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.