Question

【題目】已知拋物線，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn).

（1）設(shè)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為，，線段的中點(diǎn)為，證明：.

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得直線，的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）存在點(diǎn)滿足題意.

【解析】

（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB的方程為x＝my+1，根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，根據(jù)斜率公式，化簡計(jì)算即可證明；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)直線，的斜率分別為，，將坐標(biāo)化，化簡得到關(guān)于m與a的關(guān)系式，給a取值，讓式子與m無關(guān).

（1）證明：設(shè)，，，

故可設(shè)直線的方程為，

由，得，則，，

由題意可知，，，

則，.

因?yàn)?/span> ，

所以，故.

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)直線，的斜率分別為，.

，，

則

.

因?yàn)?/span>，且為常數(shù)，

所以，即，

故存在點(diǎn)滿足題意.