Question

【題目】以坐標(biāo)原點為極點，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為方程為（），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）點在曲線上，且曲線在點處的切線與直線垂直，求點的直角坐標(biāo)和曲線C的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線與曲線有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）；（2）.

【解析】

（1）由，結(jié)合可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，從而得曲線的參數(shù)方程，點坐標(biāo)為，分析切線的斜率即可得，從而得D點的坐標(biāo)；
（2）由題意可知直線：與半圓，有兩個交點，找到臨界位置即可得直線的斜率范圍.

（1）由得曲線的直角坐標(biāo)方程為，

所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），設(shè)點坐標(biāo)為，

由已知得是以為圓心，為半徑的上半圓，

因為在點處的切線與垂直，所以直線與直線的斜率相同，，

故點的直角坐標(biāo)為.

（2）設(shè)直線：與半圓相切時

∴，∴，（舍去）

設(shè)點，，

故直線的斜率的取值范圍為.