Question

【題目】已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．

（I）求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（II）設(shè)曲線(xiàn)與的公共點(diǎn)為，，求的值．

Answer 1

【答案】（I）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（II）.

【解析】

試題分析：（I）消去參數(shù)即得曲線(xiàn)的普通方程，根據(jù)二倍角公式及，消去得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（II）易求曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得的值.

試題解析：（I）因?yàn)榍�線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

所以曲線(xiàn)的普通方程為．

又曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，

所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為

（II）當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)．

由（I）知曲線(xiàn)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，設(shè)它的傾斜角為，則，

所以，，

所以曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將上式代入，得，

所以