Question

【題目】已知：橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點，是橢圓上異于的兩個動點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求證：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點坐標(biāo)：.

【解析】

（1）通過橢圓的焦距為2，求出．結(jié)合橢圓經(jīng)過點，列出方程組求解，，得到橢圓方程．

（2）設(shè)，、，，

①直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，利用韋達(dá)定理推出，的關(guān)系式，利用向量的數(shù)量積推出，得到直線系，然后求解直線經(jīng)過的定點；

②直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，，，，判斷直線經(jīng)過的定點即可．

解：（1）因為橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點

所以解得

所以；

（2）設(shè)，

①直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立可得，，

∴(*)且，

∵，∴，

即，

化簡得，

將(*)式代入，得，，

∴，即或(舍，此時直線過點)

∴直線的方程為，過定點；

②直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，，

可設(shè)，且，由，

即，解得或(舍)，

此時直線的方程為，也過定點；

綜上，直線過定點.