Question

【題目】已知、是橢圓上不同的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）證明：直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為1，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)給出理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）過定點(diǎn)；.

【解析】

（1）根據(jù)已知用點(diǎn)差法求出直線的斜率，即可證明結(jié)論；

（2）先考慮直線斜率存在情況，設(shè)直線的方程為，直線要過定點(diǎn)，只需求出為定值或確定關(guān)系，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及直線與直線的斜率的和為1，可得關(guān)系，得出定點(diǎn)，再求出直線斜率不存在時(shí)方程即可.

（1）由題知，，設(shè)，，

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，

由，兩式相減，

得，

又因?yàn)?/span>，所以直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由得，

設(shè)，，

所以，，

又因?yàn)?/span>，所以，

即，

所以，化簡得，

所以，又因?yàn)?/span>，所以，

所以直線的方程為，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以直線過定點(diǎn)，

又當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

，又因?yàn)?/span>，

解得，也過點(diǎn)．

綜上知，直線過定點(diǎn)．