Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，，過(guò)點(diǎn)P的直線斜率為k，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，證明：三點(diǎn)B、、C共線；

（3）若點(diǎn)B在一象限，A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）由正弦定理推得，結(jié)合離心率，即可容易求得；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，只需證明即可；

（3）設(shè)，結(jié)合（2）中所求，由角平分線的性質(zhì)得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的范圍的問(wèn)題進(jìn)行處理.

（1）由正弦定理得，

由橢圓的定義可得，∴，

又∵離心率，∴，∴，

∴，

∴橢圓E的方程為：；

（2）由題意可知，直線l的方程為：，，

設(shè)，，則，

聯(lián)立方程，消去y得：，

∴，解得，

且，①，

要證三點(diǎn)B、、C共線，只需證，即證，

即證，

即證，

即證，

把①代入上式得：

，

∴三點(diǎn)B、、C共線；

（3）設(shè)直線的傾斜角為，由點(diǎn)B在第一象限，則，

設(shè)，

由（2）可知平分，

由角平分線性質(zhì)得：，

又為過(guò)焦點(diǎn)的弦，所以由橢圓的性質(zhì)得：

，

∵，∴，

∴，

∴，

∴的取值范圍為.