Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的所對(duì)的邊a，b，c成等比數(shù)列，則

sinB

sinA

的取值范圍是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（0，

  5 +1

  2

  ）
• C、（

  5 -1

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）
• D、（

  5 -1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：解三角形

分析：先用余弦定理獲得a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)三邊長(zhǎng)成等比數(shù)列求得c=

b2

a

代入，整理可得關(guān)于

b

a

的等式，利用cosA的范圍獲得不等式，解不等式即可．

解答： 解：由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，即c=

b2

a

，
∴cosB=

a2+ b2 a -b2

2•a• b2 a

=

1

2

（

a2

b2

+

b2

a2

-1），
設(shè)

b

a

=t，則cosB=

1

2

（t²+

1

t2

-1），
∵-1＜cosB＜1，
∴-1＜

1

2

（t²+

1

t2

-1）＜1
∵t²+

1

t2

≥2，
∴t²+

1

t2

-1≥1，
只需求

1

2

（t²+

1

t2

-1）＜1，整理得t⁴-3t²+1＜0，
求得

3- 5

2

＜t²＜

3+ 5

2

，
∴

5 -1

2

＜t＜

5 +1

2

，
即

5 -1

2

＜

b

a

＜

5 +1

2

，
∵正弦定理知

b

a

=

sinB

sinA

，
∴

5 -1

2

＜

sinB

sinA

＜

5 +1

2

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．本題主要是利用正弦定理和余弦定理把解三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)換成解不等式問(wèn)題．