Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，證明：對任意的，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 當時，區(qū)間單調遞增； 當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減； （Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數單調區(qū)間，只要求出導數，在定義域內解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間，由于中含有參數，應按進行分類討論；（Ⅱ）要證的不等式就是，為此我們記，求出它的最小值，證明最小值大于0即可．這可由導數的知識易得．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域是

當時，

對任意恒成立，

所以，函數在區(qū)間單調遞增；

當時，

由得，由得

所以，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減。

（Ⅱ）當時，，要證明，

只需證明，設，

則問題轉化為證明對任意的，

令得，

容易知道該方程有唯一解，不妨設為，則滿足

當變化時，和變化情況如下表

	－
	遞減		遞增

因為，且，所以，因此不等式得證。