Question

【題目】一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取個(gè)作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）.

（Ⅰ）求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；

（Ⅱ）從盒子中隨機(jī)抽取個(gè)小球，其中重量在內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. （以直方圖中的頻率作為概率）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），眾數(shù)20，平均數(shù)24.6；（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析，期望為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積（頻率）之和為1，可計(jì)算出,眾數(shù)取頻率最大即矩形最高的那個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，平均值用各矩形中點(diǎn)值乘頻率相加即得；（Ⅱ）的可能取值為、、、，利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為，因此有，從而可得分布列，最后由期望公式可計(jì)算出期望．

試題解析：（Ⅰ）由題意，得，

解得；

又由最高矩形中點(diǎn)的的橫坐標(biāo)為20，可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為20（克）

而個(gè)樣本小球重量的平均值為：（克）

故由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為克；

（Ⅱ）利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為

則.的可能取值為、、、，

，，

，.

的分布列為：

.（或者）