Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ），見解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后，分及討論即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有兩個零點(diǎn)，必須有且最小值，即可得到，因為有兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，即，要證：，即證：，即證：，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；

解：（Ⅰ），

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.

綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有兩個零點(diǎn)，

必須有且最小值，

∴，∴，

又∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，

∴，有兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)，∴，

此時，，

即，，

∴，

要證：，即證：，

即證：，即證：，即證：，

又，∴，

即證：，即證：，

令

，

，當(dāng)僅當(dāng)取“”，

∴在上為增函數(shù)，∴，

∴成立，

∴成立.