Question

【題目】已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，直線：交橢圓于不同的兩點(diǎn)、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，且，求的值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得，利用求得后即可得解；

（2）由題意直線：，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程可得，，代入后，化簡(jiǎn)即可得，即可得解；

（3）由題意結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，聯(lián)立方程組可得，，進(jìn)而可得，分、討論，利用基本不等式即可得解.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，

則，解得，所以，

所以橢圓方程為；

（2）當(dāng)時(shí)，直線：，設(shè)點(diǎn)，，

則，化簡(jiǎn)可得，

，

所以，，

所以

，

所以即；

（3）由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，可得，

所以，

則，化簡(jiǎn)可得，

，

所以，，

所以

，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，此時(shí)；

綜上，，

所以面積的最大值.