Question

【題目】函數(shù)y=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）內(nèi)取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值﹣3．
（1）求此函數(shù)解析式；
（2）寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）是否存在實數(shù)m，滿足不等式Asin（ ）＞Asin（ ）？若存在，求出m值（或范圍），若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值﹣3．

∴A= [3﹣（﹣3）]=3， =5π，

∴T=10π= ，

∴ω= = ，

∵當x=π時，y有最大值3，

∴ π+= ，

∴= ，

∴y=3sin（ x+ ），

（2）

解：令 2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ 得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π k∈Z}；

（3）

解：∵ω= ，= ，

∴ω += + ∈（0， ），

ω += + ∈（0， ），

而y=sint在（0， ）上是增函數(shù)

∴ + ＞ + ，

∴ ＞

∴ ，

∴ 解得： ．

∴m的取值范圍是 ．

【解析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)的最值可以確定A，根據(jù)在x∈（0，7π）內(nèi)取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值﹣3，可以確定函數(shù)的周期，從而求出ω的值和φ的值，從而求得函數(shù)的解析式；（2）令 2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ ，解此不等式，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）根據(jù)（1）所求得的ω和φ的值，分析 和 的范圍，確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得結果．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．