Question

【題目】關(guān)于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解關(guān)于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵關(guān)于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可變形為

（ax﹣2）（x+1）≥0，

且該不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），

∴a＞0；

又不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為﹣1和2；

∴ =2，解得a=1；

（2）解：①a=0時(shí)，不等式可化為﹣2x﹣2≥0，它的解集為{x|x≤﹣1}；

②a≠0時(shí)，不等式可化為（ax﹣2）（x+1）≥0，

當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為（x﹣ ）（x+1）≥0，

它對(duì)應(yīng)的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 和﹣1，且 ＞﹣1，

∴不等式的解集為{x|x≥ 或x≤﹣1}；

當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為（x﹣ ）（x+1）≤0，

不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 和﹣1，

在﹣2＜a＜0時(shí)， ＜﹣1，

∴不等式的解集為{x| ≤x≤﹣1}；

在a=﹣2時(shí)， =﹣1，不等式的解集為{x|x=﹣1}；

在a＜﹣2時(shí)， ＞﹣1，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤ }．

綜上，a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤﹣1}，

a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x≥ 或x≤﹣1}，

﹣2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x| ≤x≤﹣1}，

a=﹣2時(shí)，不等式的解集為{x|x=﹣1}，

a＜﹣2時(shí)，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤ }．

【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出a的值；（2）討論a的取值，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，以及對(duì)解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊．