Question

函數(shù)y=

2- 1-x2

3-x

的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=cosx，則

1-x2

=|sinx|，則y=

2- 1-x2

3-x

=

2-|sinx|

3-cosx

，函數(shù)y值表示動(dòng)點(diǎn)（cosx，|sinx|）與定點(diǎn)P（3，2）連線的斜率k，然后數(shù)形結(jié)合求出y的最值，進(jìn)而可得函數(shù)的值域．

解答： 解：令x=cosx，則

1-x2

=|sinx|，
則y=

2- 1-x2

3-x

=

2-|sinx|

3-cosx

，
函數(shù)y值表示動(dòng)點(diǎn)（cosx，|sinx|）與定點(diǎn)P（3，2）連線的斜率k，
由下圖可得：

當(dāng)直線過A（1，0）時(shí)，k取最大值1，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，k取最小值，
此時(shí)

|2-3k|

k2+1

=1，
解得k=

3- 3

4

，或k=

3+ 3

4

（舍去），
故函數(shù)y=

2- 1-x2

3-x

的值域是[

3- 3

4

，1]，
故答案為：[

3- 3

4

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)的值y表示動(dòng)點(diǎn)（cosx，|sinx|）與定點(diǎn)P（3，2）連線的斜率k，是解答的關(guān)鍵．