Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極小值；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍，（ ）

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值1；（2）當(dāng)時(shí)， 的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)， 只有遞增區(qū)間為；（3）.

【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，當(dāng)時(shí)，先得到解析式，在定義域范圍內(nèi)，解不等式， 得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值；第二問(wèn)，先求出表達(dá)式，對(duì)求導(dǎo)，需討論的根與0的大小，分情況討論；第三問(wèn)，將在（）上存在一點(diǎn)，使得成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論，討論求的最小值.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>． 1分

當(dāng)時(shí)， ， ． 2分

由，解得.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為； 4分

（2），其定義域?yàn)?/span>．

又． 5分

①當(dāng)，即時(shí)，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 6分

②當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 7分

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為．

當(dāng)時(shí)， 只有遞增區(qū)間為． 8分

（3）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得．

則函數(shù)在上的最小值小于零． 9分

①當(dāng)，即時(shí)，由（2）可知在上單調(diào)遞減．

故在上的最小值為，由，可得．

因?yàn)?/span>．所以； 10分

②當(dāng)，即時(shí)，由（2）可知在上單調(diào)遞增．

故在上最小值為，由，

可得（滿足）； 11分

③當(dāng)，即時(shí)，由（2）可知可得在上最小值為

．

因?yàn)?/span>，所以， ．

，即不滿足題意，舍去． 13分

綜上所述得，或．

實(shí)數(shù)的取值范圍為． 14分