Question

【題目】已知函數(shù)， ，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)的極小值；

(3)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)， ， ，證明： .

Answer 1

【答案】(1) (2) 函數(shù)的極小值為.(3) 見解析

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得.（2）先求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定極小值點(diǎn)（3）先利用斜率公式化簡(jiǎn)所證不等式，再利用換元轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)分別證明及

試題解析：解：(1)依題意得，則.

由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：

，所以.

(2)由(1)得，

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，令得或.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

故函數(shù)的極小值為.

(3)證法一：依題意得，

要證，即證，

因，即證，

令，即證，

令，則，所以在上單調(diào)遞減，

所以，即，所以①

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即②

綜①②得，即.

證法二：依題意得，

令，則，

由得，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，

所以，即.