Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）設(shè)PC與平面ABCD所成的角的正弦為，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，推導(dǎo)出EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．

(2)根據(jù)題意可得即為設(shè)PC與平面ABCD所成的角故,可得

根據(jù)勾股定理可得 ，，由此可求

三棱錐E-ACD的體積

(1)連接BD交AC于點(diǎn)F，連接EF

則在三角形BDP中，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，即線段EF是的中位線

所以PB‖EF，又因?yàn)?/span>PB平面AEC，EF平面AEC，所以PB‖平面AEC

(2)根據(jù)題意可得即為設(shè)PC與平面ABCD所成的角，故,可得

根據(jù)勾股定理可得，所以 ，三棱錐E-ACD的高為，所以