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        1. 【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,頂點在底面的射影恰好是菱形對角線的交點,且,,,其中.

          (1)當時,求證:;

          (2)當與平面所成角的正弦值為時,求二面角的余弦值.

          【答案】(1)詳見解析;(2).

          【解析】

          (1)先證明,再證明;(2)以為坐標原點,軸正方向,軸正方向,軸正方向,建立空間直角坐標系,由與面所成角的正弦值為得到.再利用向量法求二面角的余弦值.

          解:(1)∵頂點在底面的射影是,

          ,由,∴.

          ,,,連,

          ,,

          ,則,∴.

          ,,∴

          ,∴

          ∵菱形,,

          .

          (2)以為坐標原點,軸正方向,軸正方向,軸正方向,建立空間直角坐標系,則,

          ,則,∴.

          ,則,∴,

          設(shè)面的法向量為,由,解得.

          與面所成角的正弦值為,即有,解得.

          設(shè)面的法向量為,由,解得.

          ∴二面角的余弦值.

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