Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，頂點(diǎn)在底面的射影恰好是菱形對角線的交點(diǎn)，且，，，，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明面，再證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由與面所成角的正弦值為得到.再利用向量法求二面角的余弦值.

解：（1）∵頂點(diǎn)在底面的射影是，

∴面，由面，∴.

∵，，，連，

∴，，，，

∴，則，∴.

由，，∴面，

由面，∴，

∵菱形，，

∴.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

∵，則，∴.

∵，則，∴，

設(shè)面的法向量為，由，解得.

由與面所成角的正弦值為，即有，解得.

設(shè)面的法向量為，由，解得.

∴二面角的余弦值.