【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為菱形,頂點(diǎn)
在底面
的射影恰好是菱形
對角線的交點(diǎn)
,且
,
,
,
,其中
.
(1)當(dāng)時(shí),求證:
;
(2)當(dāng)與平面
所成角的正弦值為
時(shí),求二面角
的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)先證明面
,再證明
;(2)以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
為
軸正方向,
為
軸正方向,
為
軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,由
與面
所成角的正弦值為
得到
.再利用向量法求二面角
的余弦值.
解:(1)∵頂點(diǎn)在底面
的射影是
,
∴面
,由
面
,∴
.
∵,
,
,連
,
∴,
,
,
,
∴,則
,∴
.
由,
,∴
面
,
由面
,∴
,
∵菱形,
,
∴.
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),
為
軸正方向,
為
軸正方向,
為
軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
∵,則
,∴
.
∵,則
,∴
,
設(shè)面的法向量為
,由
,解得
.
由與面
所成角的正弦值為
,即有
,解得
.
設(shè)面的法向量為
,由
,解得
.
∴二面角的余弦值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從金山區(qū)走出去的陳馳博士,在《自然—可持續(xù)性》雜志上發(fā)表的論文中指出:地球正在變綠,中國通過植樹造林和提高農(nóng)業(yè)效率,在其中起到了主導(dǎo)地位.已知某種樹木的高度(單位:米)與生長年限
(單位:年,tN*)滿足如下的邏輯斯蒂函數(shù):
,其中e為自然對數(shù)的底數(shù). 設(shè)該樹栽下的時(shí)刻為0.
(1)需要經(jīng)過多少年,該樹的高度才能超過5米?(精確到個(gè)位)
(2)在第幾年內(nèi),該樹長高最快?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=m,點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn).
(1)求異面直線B1C與AC1所成的角的大小;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得直線AC1與平面BMD1垂直?說明理由;
(3)設(shè)P是線段AC1上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),滿足λ,求λ的值,使得三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、
是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),
是他們的一個(gè)公共點(diǎn),且
,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)設(shè)PC與平面ABCD所成的角的正弦為,AP=1,AD=
,求三棱錐E-ACD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若方程所表示的曲線為
,則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是( )
A.若為橢圓,則
B.若
是雙曲線,則其離心率有
C.若為雙曲線,則
或
D.若
為橢圓,且長軸在
軸上,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:經(jīng)過點(diǎn)
,其焦點(diǎn)為F,M為拋物線上除了原點(diǎn)外的任一點(diǎn),過M的直線l與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn).
Ⅰ
求拋物線C的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo);
Ⅱ
若
與
的面積相等,證明直線l與拋物線C相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)M(1,0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N(3,2),記直線AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=8x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為6,若點(diǎn)P為拋物線C準(zhǔn)線上的動點(diǎn),則|OP|+|AP|的最小值為( )
A. 4B. C.
D.
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