Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，點M是棱CD的中點．

（1）求異面直線B1C與AC1所成的角的大小；

（2）是否存在實數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直？說明理由；

（3）設(shè)P是線段AC1上的一點（不含端點），滿足λ，求λ的值，使得三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等．

Answer 1

【答案】（1）90° （2）存在，m，理由見解析 （3）λ

【解析】

（1）根據(jù)題意只需證明平面，即可得到B1C⊥AC1，從而可得答案.

（2）存在實數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．只需證明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直線AC1⊥平面BMD1；

（3）計算，，設(shè)AC1 與平面B1CD1 的斜足為O，則AO＝2OC1，則P為AO的中點，從而可得答案.

（1）連接BC1，如圖所示：

由四邊形BCC1B1為正方形，可得B1C⊥BC1，

又ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，

∴B1C⊥平面ABC1，而AC1平面ABC1，∴B1C⊥AC1，

即異面直線B1C與AC1所成的角的大小為90°；

（2）存在實數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．

事實上，當m時，CM，

∵BC＝1，∴，則Rt△ABC∽Rt△BCM，

則∠CAB＝∠MBC，

∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，

又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，則BM⊥AC1，

同理可證AC1⊥D1M，

又D1M∩BM＝M，∴直線AC1⊥平面BMD1；

（3）∵，

，

設(shè)AC1 與面B1CD1 的斜足為O，則AO＝2OC1，

∴在線段AC1上取一點P，要使三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等，

則P為AO的中點，即．