Question

【題目】已知拋物線C的頂點為坐標原點O，對稱軸為x軸，其準線過點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過拋物線焦點F作直線l，使得拋物線C上恰有三個點到直線l的距離都為，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）由題意得，拋物線的焦點在軸上，設拋物線C的方程為，由準線過點，可得，從而求解.

（2）求出拋物線C的焦點為，分類討論直線l的斜率不存在時，驗證不合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，要滿足題意，需使在含坐標原點的弧上有且只有一個點P到直線l的距離為，過點P的直線平行直線且與拋物線C相切，設該切線方程為，代入拋物線方程，使判別式等于零，再利用兩平行線間的距離公式即可求解.

(1)由題意得，拋物線的焦點在軸正半軸上，設拋物線C的方程為，

因為準線過點，所以，即.

所以拋物線C的方程為.

(2)由題意可知，拋物線C的焦點為.

當直線l的斜率不存在時，C上僅有兩個點到l的距離為，不合題意；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，

要滿足題意，需使在含坐標原點的弧上有且只有一個點P到直線l的距離為，

過點P的直線平行直線且與拋物線C相切.

設該切線方程為，

代入，可得.

由，得.

由，整理得，

又，解得，即.

因此，直線l方程為.