Question

【題目】定義在上的奇函數(shù)有最小正周期4，且時(shí)，

（1）判斷并證明在上的單調(diào)性，并求在上的解析式；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減，；（2）

【解析】

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，通過取值、作差、化簡(jiǎn)、下結(jié)論等步驟得函數(shù)單調(diào)性，由奇函數(shù)，易得，通過在上取變量，轉(zhuǎn)化到上，根據(jù)得在區(qū)間上解析式，再由最小正周期為4，得到和的值，綜合即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域問題即可．

（1）在上為減函數(shù)，

證明如下：設(shè)，則，，，

∴

∴，∴在上為減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，，，

又為奇函數(shù)，∴，

當(dāng)時(shí)，由

∵有最小正周期4，∴

綜上

（2）周期為4的周期函數(shù)，關(guān)于方程在上有實(shí)數(shù)解的的范圍即為求函數(shù)在上的值域，

當(dāng)時(shí)由（1）知，在上為減函數(shù)，∴，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴的值域?yàn)?/span>

∴時(shí)方程方程在上有實(shí)數(shù)解