Question

（本小題滿分12分）已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點是．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與軸的兩個交點為、，點在直線上，直線、分別與橢圓交于、兩點．試問：當點在直線上運動時，直線是否恒經(jīng)過定點？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（I）方法1：橢圓的一個焦點是 ，
∴，             ………………（2分）
∵，∴，∴橢圓方程為       ………………（4分）
方法2：，可設(shè)橢圓方程為         ………………（2分）
∵在橢圓上，所以（舍去）
∴橢圓方程為                          ………………（4分）
（II）

方法1：當點在軸上時，、分別與、重合，
若直線通過定點，則必在軸上，設(shè)，………………（6分）
當點不在軸上時，設(shè)，、，，
直線方程，方程，
代入得，
解得，，
∴，              ……………（8分）
代入得
解得，，
∴，               ………………（10分）
∵，
∴，
∴，，
∴當點在直線上運動時，直線恒經(jīng)過定點．……………（12分）
方法2：直線恒經(jīng)過定點，證明如下：
當斜率不存在時，直線即軸，通過點，……………（6分）
當點不在軸上時，設(shè)，、，，
直線方程，方程，
代入得，
得，，∴，……………（8分）
代入得
得，，…………（10分）
∴，直線恒經(jīng)過定點．        ………………（12分）
方法3：∵、、三點共線，、、三點也共線，
∴是直線與直線的交點，
當斜率存在時，設(shè)：，代入，
得，，，
直線方程，直線方程，
分別代入，得，，
∴，即，
，
∴對任意變化的都成立，只能，
∴直線，通過點
當斜率不存在時，直線即軸，通過點，……………（10分）
∴當點在直線上運動時，直線恒經(jīng)過定點．

略