Question

【題目】某中學(xué)舉行“新冠肺炎”防控知識閉卷考試比賽，總分獲得一等獎、二等獎、三等獎的代表隊人數(shù)情況如表，其中一等獎代表隊比三等獎代表隊多10人．該校政教處為使頒獎儀式有序進(jìn)行，氣氛活躍，在頒獎過程中穿插抽獎活動．并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取16人在前排就坐，其中二等獎代表隊有5人（同隊內(nèi)男女生仍采用分層抽樣）

名次 性別	一等獎 代表隊	二等獎 代表隊	三等獎 代表隊
男生	？	30	◎
女生	30	20	30

（1）從前排就坐的一等獎代表隊中隨機(jī)抽取3人上臺領(lǐng)獎，用X表示女生上臺領(lǐng)獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

（2）抽獎活動中，代表隊員通過操作按鍵，使電腦自動產(chǎn)生[﹣2，2]內(nèi)的兩個均勻隨機(jī)數(shù)x，y，隨后電腦自動運(yùn)行如圖所示的程序框圖的相應(yīng)程序．若電腦顯示“中獎”，則代表隊員獲相應(yīng)獎品；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎．求代表隊隊員獲得獎品的概率．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望E（X）；（2）．

【解析】

（1）設(shè)代表隊共有n人，則，所以n＝160，再設(shè)一等獎代表隊男生人數(shù)為x，可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列出關(guān)于x的方程，解之可得x＝30，因此三個代表隊中前排就坐的比例是按照一等獎：二等獎：三等獎＝6：5：5，故前排就坐的16人中一等獎代表隊共6人，有3男3女，所以X的可能取值為0，1，2，3，然后根據(jù)超幾何分布計算概率的方式逐一求出每個X的取值所對應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；

（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/span>Ω＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}，事件A表示代表隊隊員獲得獎品，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/span>，然后依次求出兩個區(qū)域的面積，根據(jù)幾何概型即可得解．

（1）設(shè)代表隊共有n人，則，所以n＝160，

設(shè)一等獎代表隊男生人數(shù)為x，則x+30+20+30+（x﹣10）+30＝160，解得x＝30，

所以一等獎代表隊的男生人數(shù)為30，

所以三個代表隊中前排就坐的比例是按照一等獎：二等獎：三等獎＝60：50：50＝6：5：5，

故前排就坐的16人中一等獎代表隊有3男3女，共6人．

于是X的可能取值為0，1，2，3．

則P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P

∴數(shù)學(xué)期望E（X）．

（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/span>Ω＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}，面積為SΩ＝4×4＝16，

事件A表示代表隊隊員獲得獎品，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/span>，

如圖，陰影部分的面積為，

這是一個幾何概型，所以，即代表隊隊員獲得獎品的概率為．