【題目】有2008名學生參加大型公益活動．若有兩名學生互相認識，則將這兩名學生看作一個合作小組．
（1）求合作小組數(shù)目的最小值
，使得無論學生認識的情況如何，都存在三名學生，他們兩兩都在一個合作小組；
（2）若合作小組數(shù)目為
，證明：存在四名學生
、
、
、
，使得和、和、和、和分別為一個合作小組．
【答案】(1) 
(2)見解析
【解析】
（1）設(shè)
．
下面證明：
．
將學生分為兩大組，每大組中有
名學生，且每大組中的學生互相不認識，而每個學生都和另外一個大組中的每個學生認識，則可以組成
個合作小組，但是不存在三名學生，他們兩兩都在一個合作小組．
若有
個合作小組，設(shè)學生
認識的學生最多，且認識
個學生，分別設(shè)為
，
，…，
．
若存在
、
滿足
與
互相認識，則、、滿足條件；
若，，…，中任意兩名學生都不在一個合作小組，則合作小組的數(shù)目不超過
．矛盾．
因此，
．
（2）設(shè)，
，
名學生分別為
，
，…，
，他們認識學生的數(shù)目分別為
，
，…，
，則
．
考慮每個學生認識的學生中所有可能的兩個小組，其總數(shù)為
．
所以，存在一個兩人小組
和
，他們都認識
和
．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
中心在原點
，焦點在坐標軸上，直線
與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是
，點在
軸上的射影恰好是橢圓的右焦點
，橢圓另一個焦點是
，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點
的直線
與交于點
（不在軸上），垂直于的直線與交于點
，與
軸交于點
．若
，且
，求直線的方程．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某中學舉行“新冠肺炎”防控知識閉卷考試比賽，總分獲得一等獎、二等獎、三等獎的代表隊人數(shù)情況如表，其中一等獎代表隊比三等獎代表隊多10人．該校政教處為使頒獎儀式有序進行，氣氛活躍，在頒獎過程中穿插抽獎活動．并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取16人在前排就坐，其中二等獎代表隊有5人（同隊內(nèi)男女生仍采用分層抽樣）
名次 性別 | 一等獎 代表隊 | 二等獎 代表隊 | 三等獎 代表隊 |
男生 | ？ | 30 | ◎ |
女生 | 30 | 20 | 30 |
（1）從前排就坐的一等獎代表隊中隨機抽取3人上臺領(lǐng)獎，用X表示女生上臺領(lǐng)獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）．
（2）抽獎活動中，代表隊員通過操作按鍵，使電腦自動產(chǎn)生[﹣2，2]內(nèi)的兩個均勻隨機數(shù)x，y，隨后電腦自動運行如圖所示的程序框圖的相應程序．若電腦顯示“中獎”，則代表隊員獲相應獎品；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎．求代表隊隊員獲得獎品的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）若
恒成立，求a的取值范圍；
（2）當
時，函數(shù)
的圖像與直線
是否有公共點？如果有，求出所有公共點；若沒有，請說明理由；
（3）當
時，有
且
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】定義：如果數(shù)列
的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列，對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)
使得
仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”
．
（1）已知是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若
是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；
（2）已知數(shù)列
的首項為2010，
是數(shù)列的前n項和，且滿足
，證明是“三角形”數(shù)列．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度，現(xiàn)在某市進行調(diào)查，隨機調(diào)查了
人，他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎”人數(shù)如下表：
年齡 | [5,15) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生 育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表，并問是否有99
的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異：
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
支持 | a= | c= | |
不支持 | b= | d= | |
合計 |
（2）若對年齡在
的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查，恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少？
參考數(shù)據(jù)：P
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為
三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：
已知三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務過程中的固定支出為每年10萬元.
（1）求保險公司在該業(yè)務所或利潤的期望值；
（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：
方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；
方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責職工保費的70%，職工個人負責保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.
請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)
是公比為q的等比數(shù)列.
(Ⅰ) 推導的前n項和公式;
(Ⅱ) 設(shè)q≠1, 證明數(shù)列
不是等比數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
滿足
，且
，點
在二次函數(shù)
的圖象上.
（1）試判斷數(shù)列
是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請說明你的理由；
（2）記
，求證：數(shù)列
是等比數(shù)列，并求出通項公式
；
（3）在數(shù)列中依據(jù)某種順序從左至右取出其中的項
，…，把這些項重新組成一個新數(shù)列
，….若數(shù)列
是首項為
、公比為
的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項的和為
，求正整數(shù)
的值.
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