Question

已知函數(shù)（，），．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（3）證明不等式 （）．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn).
（2）
（3）由（2）可知 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，
而所以當(dāng)時(shí)， 即   放縮法來(lái)得到。

試題分析：解：（1）                 1分
則
                 2分
（i）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以 為的增區(qū)間，為的減區(qū)間.        3分
極大值為
所以只有一個(gè)零點(diǎn).
（ii）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以 為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.
極小值為              4分
所以只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn).
5分
（2）
              6分
由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知,恒成立.
則   恒成立.          7分
(法一)由二次函數(shù)的圖象(開口向上，過(guò)定點(diǎn))可得或 
8分
則 或
則 或
得 .
可以驗(yàn)證 當(dāng)時(shí)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
故 .                         9分
(法二)分離變量
因  （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)） 8分
所以 ， 則.
可以驗(yàn)證 當(dāng)時(shí)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
故                           9分
（3）由（2）可知 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，
而
所以當(dāng)時(shí)，
即                     10分
令 ，
則                    11分
則
所以 ，，  , ,,
以上個(gè)式子累加可得

12分
則
則           13分
則
故  （）．      14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與不等式中的運(yùn)用，屬于中檔題。