Question

已知函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192905312287.gif" style="vertical-align:middle;" />（）,設(shè)．
（1）試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證:；
（3）求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192906248981.gif" style="vertical-align:middle;" />
由；由,
所以在上遞增,在上遞減
欲在上為單調(diào)函數(shù),則           -----------------3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192905702270.gif" style="vertical-align:middle;" />在上遞增,在上遞減,
所以在處取得極小值 
又,所以在上的最小值為 
從而當(dāng)時(shí),,即               -----------------6分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192907636608.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以即為,
令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程                 =0在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)  --------7分                  
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192908416914.gif" style="vertical-align:middle;" />,
,             --------------8分
所以 ① 當(dāng)時(shí),,
所以在上有解,且只有一解
② 當(dāng)時(shí),,但由于,
所以在上有解,且有兩解
③ 當(dāng)時(shí),,
所以在上有且只有一解；
④ 當(dāng)時(shí),在上也有且只有一解    ------------10分
綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,
且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；
當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題．

略