Question

【題目】在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，，則稱為“D-數(shù)列”.

(1) 舉出一個(gè)前五項(xiàng)均不為零的“D-數(shù)列”(只要求依次寫出該數(shù)列的前五項(xiàng))；

(2) 若“D-數(shù)列”中，，，數(shù)列滿足，，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并分別判斷當(dāng)時(shí)，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值(若不存在不需要交代理由)；

(3) 證明: 設(shè)“D-數(shù)列”中的最大項(xiàng)為，證明: 或.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ，不存在，存在，；(3) 證明見解析.

【解析】

（1）依照定義寫出數(shù)列即可.

（2）計(jì)算可得為周期數(shù)列，且周期為3，故可得與的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式可判斷數(shù)列的極限存在與否.

（3）利用反證法可證明或.

(1) 如等等.

(2) 因?yàn)?/span>，，故，，，

故為周期數(shù)列，且周期為3，其通項(xiàng)公式為.

的極限不存在.

而時(shí)，，所以的極限存在，.

(3) 由題設(shè)有或.

假設(shè)且.

注意到.

故對一切，均有，這與的最大項(xiàng)為矛盾，從而假設(shè)不成立，或.