Question

【題目】如圖：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左右兩個焦點(diǎn)分別為、.過右焦點(diǎn)與軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點(diǎn)為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的一個頂點(diǎn)為，求點(diǎn)M到直線的距離；

（3）過中點(diǎn)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求長的最大值以及相應(yīng)的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

【解析】

（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，令，代入橢圓方程，可得，，解方程可得，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）求得直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，計算即可得到所求值；（3）過中點(diǎn)的直線的方程設(shè)為，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，化簡整理即可得到弦長的取值范圍，再由斜率為0，求得直線方程，代入橢圓方程，求得的長，即可得到最大值．

（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，

令，代入橢圓可得，由，即有，，

又，解得，，

則橢圓方程為.

（2）由題意可得，，

直線的方程為，

則點(diǎn)到直線的距離為；

（3）過中點(diǎn)的直線的方程設(shè)為，

代入橢圓方程，可得，
由于中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，

設(shè)交點(diǎn)，，即有，，

弦長

，

令，

則，

當(dāng)，即時，取得最小值，

即有，

當(dāng)直線時，代入橢圓方程，可得，

即有，

綜上可得，的最大值為，此時直線方程為．