Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為，直線l的方程為.

（1）求以線段MN為直徑的圓C的極坐標(biāo)方程；

（2）求直線l被（1）中的圓C所截得的弦長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求出點(diǎn)M，N的直角坐標(biāo)，則圓C的圓心為，半徑為，寫出圓C的直角坐標(biāo)方程，再利用，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；(2)求出圓心C到直線l的距離d，則直線被圓截的的弦長(zhǎng)為.

解法一：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)M，N的直角坐標(biāo)分別為，

直線l的直角坐標(biāo)方程為，

（1）線段MN為圓C的直徑，

圓C的圓心為，半徑為，

圓C的直角坐標(biāo)方程為，即，

化為極坐標(biāo)方程為：.

（2）圓C的直角坐標(biāo)方程為，

直線l的直角坐標(biāo)方程為，

圓心C到直線l的距離為，

所求弦長(zhǎng)為.

解法二：（1）線段MN為圓C的直徑，點(diǎn)MN的極坐標(biāo)分別為，

圓心C的極坐標(biāo)為，半徑為，

設(shè)點(diǎn)為圓C上任一點(diǎn)，

則在中，由余弦定理得

（P、O、C共線此式也成立）

圓C的極坐標(biāo)方程為：.

（2）在圓C的極坐標(biāo)方程中，

令，得，

顯然該方程，且，

所求弦長(zhǎng)為.