Question

【題目】如圖，是以BC為底邊的等腰三角形，DA，EB都垂直于平面ABC，且線段DA的長度大于線段EB的長度，M是BC的中點(diǎn)，N是ED的中點(diǎn).

求證：（1）平面EBC；

（2）平面DAC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

(1)由等腰三角形的性質(zhì)推出，線面垂直的性質(zhì)推出，從而證明平面EBC；(2)證法一：連結(jié)BN并延長，交AD的延長線于I，連結(jié)IC，證明；證法二：在平面ABED中，分別過E，N作，分別交AD于P，Q，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)MO，OQ，證明；證法三：取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)MH、NH，證明平面平面DAC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行.

（1）因?yàn)?/span>是以BC為底邊的等腰三角形，M是BC的中點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>平面ABC，平面ABC，

所以.

又平面EBC，，

所以平面EBC.

（2）證法一：如圖，

連結(jié)BN并延長，交AD的延長線于I，連結(jié)IC.

因?yàn)?/span>平面ABC，平面ABC，

所以，

所以，

又N為ED的中點(diǎn)，所以，

即N為BI的中點(diǎn).

又M是BC的中點(diǎn)，

所以在中，.

又平面DAC，平面DAC，

所以平面DAC.

證法二：如圖，

因?yàn)?/span>平面ABC，平面ABC，

所以，

所以A，B，E，D四點(diǎn)共面.

在平面ABED中，分別過E，N作，分別交AD于P，Q，

取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)MO，OQ，

因?yàn)?/span>，

所以四邊形ABEP為平行四邊形，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又N是ED的中點(diǎn)，所以，

所以，

因?yàn)?/span>M，O分別為BC，CA的中點(diǎn)，

所以在中，

所以，

所以四邊形MOQN為平行四邊形，

所以.

又平面平面DAC，

所以平面DAC.

法三：如圖，

取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)MH、NH.

在中，因?yàn)?/span>M，H分別為BC，BA的中點(diǎn)，

所以.

又平面DAC，平面DAC，

所以平面DAC.

因?yàn)?/span>平面ABC，平面ABC，

所以，又，

所以四邊形ADEB為梯形.

又N，H分別為ED，BA的中點(diǎn)，

所以.

又平面DAC，平面DAC，

所以平面DAC.

因?yàn)?/span>平面NHM，，

所以平面平面DAC，

又平面NHM，

所以平面DAC.