Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ， 且a1=1，求證：
（1）數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+a2+…+an﹣1+2n﹣1= （an+1），

∴an+2n﹣1= ，

化為an+1=3an+2n，

變形為：an+1+2n+1=3 ，

∴數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3

（2）

解：由（1）可得：an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n，

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn= ﹣ = ﹣2n+1+ ．

【解析】（1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等比關(guān)系的確定(等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷)，還要掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．