Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）在在（1）的條件下，判斷函數(shù)與函數(shù)的圖像公共點個數(shù)，并說明理由；

（3）當時，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)答案見解析；(3).

【解析】分析：（1）因為為奇函數(shù)，所以對于定義域內(nèi)任意，都有，結合等式成立的條件整理計算可得.

（2）由（1）知，則，函數(shù)的定義域，原問題等價于在定義域上的解的個數(shù).結合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理可知函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個公共點.

（3）原問題等價于在上恒成立，利用換元法，令，則在恒成立.令，.結合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得的取值范圍是.

詳解：（1）因為為奇函數(shù)，所以對于定義域內(nèi)任意，都有，

即，

∴，

顯然，由于奇函數(shù)定義域關于原點對稱，所以必有.

上面等式左右兩邊同時乘以得：

，

化簡得:，

上式對定義域內(nèi)任意恒成立，所以必有，

解得.

（2）由（1）知，所以，即，

由得或，

所以函數(shù)定義域，

由題意，要求方程解的個數(shù)，即求方程：

在定義域上的解的個數(shù).

令，顯然在區(qū)間和均單調(diào)遞增，

又，，

且，，

所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，

即方程在定義域上有2個解，

所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個公共點.

（3）要使時，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象的上方，

必須使在上恒成立，

令，則，上式整理得在恒成立.

令，.

① 當，即時，在上單調(diào)遞增，

所以，恒成立；

②當，即時，在上單調(diào)遞減，

只需，解得與矛盾；

③當，即時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以由，解得，

又，所以.

綜合①②③得的取值范圍是.