Question

已知函數(shù)f（x）=m2^x+t的圖象經過點A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}滿足c_n=6na_n-n，若c_n≥λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）把A，B的坐標代入函數(shù)f（x）的解析式，求得m，t的值，則函數(shù)解析式可求，再把C的坐標代入，得到數(shù)列{a_n}的前n項和，則分類可求得數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入c_n≥λn，分離參數(shù)λ，得到3•2ⁿ≥λ+1恒成立，由n∈N^*可得λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=m2^x+t的圖象經過點A（1，1），B（2，3），
則

2m+t=1 4m+t=3

，解得

m=1 t=-1

，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，
得Sn=2n-1．
當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1．
驗證a₁=1適合上式，
則an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=3n2n-n，
由c_n≥λn恒成立，得3n2ⁿ-n≥λn恒成立，
則3•2ⁿ≥λ+1恒成立，
∵n∈N^*，
∴λ≤5．
因此，λ的取值范圍為（-∞，5]．

點評：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了由數(shù)列的前n項和求通項，訓練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．