Question

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若（為原點(diǎn)），且，求證：直線的斜率與直線MN的斜率之積為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)由題意可得，運(yùn)用離心率公式和，，的關(guān)系，可得，，進(jìn)而得到所求橢圓方程;

(2)由題意設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，由，運(yùn)用斜率之積為，可以得出的值，結(jié)合即可得結(jié)果.

(1)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，

又，

可得，，

所以橢圓的方程為.

(2)由題意設(shè).

設(shè)直線的斜率為，

又，則直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立整理得，

可得，代入得，

進(jìn)而直線的斜率.

在中，令，得.

由題意得，所以直線的斜率為.

由，得，化簡得.

∴.

所以直線與直線的斜率之積為定值.