【題目】已知拋物線:
的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,
與
軸的交點(diǎn)為
,點(diǎn)
在拋物線
上,過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,如圖1.已知
,且四邊形
的面積為
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)
,
,
都在拋物線
上(如圖2),求正方形
面積的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)通過借助拋物線的幾何性質(zhì),設(shè),通過勾股定理可求得
,借助線段關(guān)系可求得
,再借助梯形
面積公式最終可求得
值,進(jìn)而求得拋物線
的方程;(2)先通過設(shè)而不求得方法分別表示出
,
,
和直線
的斜率為
和
的斜率
,通過正方形的邊長關(guān)系代換出
與直線
的斜率
的關(guān)系,將面積用含
的式子整體代換表示,最終通過均值不等式處理可求得正方形
面積的最小值.
(1)設(shè),
由已知,則,
,
四邊形的面積為
,
∴,拋物線
的方程為:
.
(2)設(shè),
,
,直線
的斜率為
.
不妨,則顯然有
,且
.
∵,∴
.
由得
即,
即.
將,
代入得
,
∴,
∴.
故正方形面積為
.
∵,∴
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等).
又∵,
∴,
∴(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等).從而
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù),
在區(qū)間
上的唯一零點(diǎn)為2,并且當(dāng)
時(shí),
,則使得
成立的
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解不等式
;
(2)若關(guān)于的不等式
在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面
平面
,
,
,
,
,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在棱上是否存在點(diǎn)
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,
, 當(dāng)
時(shí),
, 則函數(shù)
在區(qū)間
上的所有零點(diǎn)的和為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),則稱f(x)為定義域上的“偽奇函數(shù)”.
(1)若f(x)=ln(2x+1)+m是定義在區(qū)間[﹣1,1]上的“偽奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)試討論f(x)=4x﹣m2x+2+4m2﹣3在R上是否為“偽奇函數(shù)”?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知AB為圓O的直徑,且AB=4,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),且,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且
.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:CD⊥平面PAB;
(2)求直線PC與平面PAB所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:(a>0),過點(diǎn)P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)),l與C分別交于M,N.
(1)寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且
.
(1)判斷并證明在區(qū)間
上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)與函數(shù)
在
上有相同的值域,求
的值;
(3)函數(shù),若對(duì)于任意
,總存在
,使得
成立,求
的取值范圍.
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