Question

【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1.已知，且四邊形的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，，都在拋物線上（如圖2），求正方形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）通過借助拋物線的幾何性質(zhì)，設(shè)，通過勾股定理可求得，借助線段關(guān)系可求得，再借助梯形面積公式最終可求得值，進(jìn)而求得拋物線的方程；（2）先通過設(shè)而不求得方法分別表示出，，和直線的斜率為和的斜率，通過正方形的邊長關(guān)系代換出與直線的斜率的關(guān)系，將面積用含的式子整體代換表示，最終通過均值不等式處理可求得正方形面積的最小值.

（1）設(shè)，

由已知，則，，

四邊形的面積為，

∴，拋物線的方程為：.

（2）設(shè)，，，直線的斜率為.

不妨，則顯然有，且.

∵，∴.

由得

即，

即.

將，代入得，

∴，

∴.

故正方形面積為

.

∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.

又∵，

∴，

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.從而，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.