Question

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：（a＞0），過點P（－2，－4）的直線l的參數方程為（t為參數），l與C分別交于M，N.

（1）寫出C的平面直角坐標系方程和l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用將曲線 極坐標方程化為直角坐標方程y2＝2ax（a＞0）；利用加減消元消去參數將直線的參數方程化為普通方程x－y－2＝0． （Ⅱ）利用直線參數方程幾何意義，將直線l的參數方程代入C的直角坐標方程所得關于參數的方程，其中|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．再根據成等比數列列等量關系解得a＝1．

試題解析：（Ⅰ）曲線C的直角坐標方程為y2＝2ax（a＞0）；

直線l的普通方程為x－y－2＝0． 4分

（Ⅱ）將直線l的參數方程與C的直角坐標方程聯立，得t2－2（4＋a）t＋8（4＋a）＝0 （*） △＝8a（4＋a）＞0．

設點M，N分別對應參數t1，t2，恰為上述方程的根．則|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由題設得（t1－t2）2＝|t1t2|，即（t1＋t2）2－4t1t2＝|t1t2|．由（*）得t1＋t2＝2（4＋a），t1t2＝8（4＋a）＞0，則有

（4＋a）2－5（4＋a）＝0，得a＝1，或a＝－4．因為a＞0，所以a＝1． 10分