Question

【題目】某學(xué)校為了對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．其中對(duì)教師教學(xué)水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的60%，對(duì)教師管理水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的75%，其中對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評(píng)的有120人．
（1）填寫(xiě)教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：

	對(duì)教師管理水平好評(píng)	對(duì)教師管理水平不滿(mǎn)意	合計(jì)
對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)
對(duì)教師教學(xué)水平不滿(mǎn)意
合計(jì)

問(wèn)：是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)、
（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)為隨機(jī)變量X；
①求對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K2= ，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：

	對(duì)教師管理水平好評(píng)	對(duì)教師管理水平不滿(mǎn)意	合計(jì)
對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)	120	60	180
對(duì)教師教學(xué)水平不滿(mǎn)意	105	15	120
合計(jì)	225	75	300

，

∴可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)；

（2）解：①對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的概率為 ，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中 ； ； ； ； ，

X 的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

②由于X～B（4， ），則 ， ．

br />【解析】（1）根據(jù)題意，可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2 ， 驗(yàn)證K2是否大于10.828，即可得出結(jié)論；（2）①分別求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；②由于X～B（4， ），即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列才能正確解答此題．