Question

【題目】已知二次函數(shù)的對稱軸為，．

（1）求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個實(shí)根；

（3）若，存在實(shí)數(shù)，對任意，使恒成立，求實(shí)數(shù)的取

值范圍．

Answer 1

【答案】（1），此時(shí)；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由，則，利用基本不等式，即可求解函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，使得，即可求解的取值范圍；（3）由已知對任意，恒成立，∴，令，轉(zhuǎn)化為存在，使成立，分類討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立，即，此時(shí)．

（2）的對稱軸為，∴，∴，

至少有一實(shí)根，∴至少有一實(shí)根，

即與的圖象在上至少有一個交點(diǎn)，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為．

（3） ，∴，

由已知存在實(shí)數(shù)，對任意，恒成立，

∴，

令，∴

轉(zhuǎn)化為存在，使成立，

令，∴的對稱軸為，

①當(dāng)，即時(shí)，

，

∴∴．

②當(dāng)，即時(shí)，，

∴∴∴．

綜上，的取值范圍為．