Question

【題目】某公司在新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲，乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇． 方案甲：員工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為 ，第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束，若中獎(jiǎng)，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，且在第二次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得1000元；若未中獎(jiǎng)，則不能獲得獎(jiǎng)金．
方案乙：員工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為 ，每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元．
（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X（元）的分布列；
（Ⅱ）試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)，哪個(gè)方案更劃算？
（Ⅲ）已知公司共有100人在活動(dòng)中選擇了方案甲，試估計(jì)這些員工活動(dòng)結(jié)束后沒有獲獎(jiǎng)的人數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知X可能的取值為0，500，1000， ，
，

所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X（元）的分布列為

X	0	500	1000
P

（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方案甲抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的均值 ，（6分）
若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B（3， ），
則 ，
抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
因邊E（X）＞E（ξ），
故選擇方案甲較劃算．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知選擇方案甲不獲獎(jiǎng)的概率為 ，
這些員工不獲獎(jiǎng)的人數(shù)Y～B（100， ），
，故這些員工不獲獎(jiǎng)的人數(shù)約為28人
【解析】（Ⅰ）由題意知X可能的取值為0，500，1000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X（元）的分布列．（Ⅱ）求出方案甲抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的均值，選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B（3， ），從而抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，由此得到選擇方案甲較劃算．（Ⅲ）選擇方案甲不獲獎(jiǎng)的概率為 ，這些員工不獲獎(jiǎng)的人數(shù)Y～B（100， ），由此能求出這些員工不獲獎(jiǎng)的人數(shù)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．