Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若為常數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)，由條件可得在，上恒成立，進(jìn)一步得到，求出的范圍即可；（2）函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，即方程在，上有解，設(shè)，然后分和兩種情況求出的范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，若不等式在，上恒成立；

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則；

當(dāng)，則在，上恒成立，

即在，上恒成立，

因?yàn)?/span>在，上單調(diào)增，，，

則，解得，；

則實(shí)數(shù)的取值范圍為，；

（2）函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，即方程在，上有解；

設(shè)

當(dāng)時(shí)，則，，，且在，上單調(diào)遞增，

所以，（2），

則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；

當(dāng)時(shí)，，

則在，上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在，上單調(diào)增；

①當(dāng)，即時(shí)，（2），，

則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；

②當(dāng)，即時(shí)，，，

則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；

③當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)，即時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；

當(dāng)，即時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；

綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；

當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．