Question

從1，2，3，…，n這n個(gè)數(shù)中取m（m，n∈N^*，3≤m≤n）個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為f（n，m）．
（1）當(dāng)n=6，m=3時(shí)，寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及f（6，3）的值；
（2）求證：f（n，m）＞

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用列舉法即可得出結(jié)論；
（2）由f（n，m）的意義，先得出其解析式為f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

=-

m-1

2

t²+

2n-m+1

2

t，
設(shè)g(t)=-

m-1

2

t2+

2n-m+1

2

t，

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．求出g（t）的最小值即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）符合要求的遞增等差數(shù)列為：
1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，3，5，2，4，6，共6個(gè)．
所以f（6，3）=6．…（4分）
（2）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，
a_m=a₁+（m-1）d，d=

am-a1

m-1

≤

n-1

m-1

，
記

n-1

m-1

的整數(shù)部分是t，則

n-1

m-1

-1＜t≤

n-1

m-1

，即

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．
∴d的可能取值為1，2，…，t，
對(duì)于給定的d，a₁=a_m-（m-1）d≤n-（m-1）d，
當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，n-（m-1）d時(shí)，可得遞增等差數(shù)列n-（m-1）d個(gè)．
所以當(dāng)d取1，2，…，t時(shí)，得符合要求的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)
f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

=-

m-1

2

t²+

2n-m+1

2

t，
設(shè)g(t)=-

m-1

2

t2+

2n-m+1

2

t，

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．

又g(

n-m

m-1

)=-

m-1

2

(

n-m

m-1

)2+

2n-m+1

2

•

n-m

m-1

=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

，
g(

n-1

m-1

)=-

m-1

2

(

n-1

m-1

)2+

2n-m+1

2

•

n-1

m-1

=

n-m+2

2

•

n-1

m-1

且g(

n-m

m-1

)-g(

n-1

m-1

)=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

-

n-m+2

2

•

n-1

m-1

=-1＜0，
所以，當(dāng)

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

時(shí)，g(t)＞g(

m-n

m-1

)恒成立；
所以f（n，m）=g（t）＞g(

m-n

m-1

)=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

…..（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力及新知識(shí)的運(yùn)用能力，運(yùn)算能力，對(duì)于（2）可以歸納總結(jié)的方法幫助我們分析問題解決問題，屬難題．