Question

【題目】如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一點．

（1）若分別是的中點，求證：平面；

（2）若是上靠近點的一個三等分點，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結交于點，連結，易知是的中點，然后利用中位線定理可使問題得證；（2）以為原點建立空間直角坐標系，然后求出相應點的坐標與向量，由此求得平面與平面的法向量，從而利用空間夾角公式求解．

試題解析：（1）連結交于點，連結，易知是的中點，

因為分別是的中點，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

因為平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則點，設平面的一個法向量為．

則由得，

令，得，

易知平面的一個法向量為，設二面角的大小為，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分