Question

（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)，滿足線段的中垂線過(guò)點(diǎn)．直線：為動(dòng)直線，且直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

（Ⅰ）所求橢圓方程為。
（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，依題意有
 解得　　　　．
所求橢圓方程為．       　　　 　 ……………………………3分
（Ⅱ）由，得．
設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則……4分
．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則．
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，
由，得      即
點(diǎn)在橢圓上，有，
將①、②兩式，得．
，，則且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是． ………………9分
【注】 此題可根據(jù)圖形得出當(dāng)時(shí)，當(dāng)、兩點(diǎn)重合時(shí)．
如果學(xué)生由此得出的取值范圍是可酌情給分．
（Ⅲ），點(diǎn)到直線的距離，
的面積
．          ………………………… 10分
由①有，代入上式并化簡(jiǎn)，得．
，．                   ……………………… 11分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為． ……………………… 12分