Question

在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)、，且，使得、、成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，且，.

解析試題分析：（1）將等差數(shù)列中的相應(yīng)式子轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的二元一次方程組，求出首項(xiàng)和公差，最后再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先將數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)選擇裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，然后根據(jù)條件列式，利用正整數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì)列不等式求出、的值.
試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/75/e/1aevf4.png" style="vertical-align:middle;" />即                           2分
解得                                     3分
所以．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．                    4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b3/3/1bl1v2.png" style="vertical-align:middle;" />，                  5分
所以數(shù)列的前項(xiàng)和


．                             7分
假設(shè)存在正整數(shù)、，且，使得、、成等比數(shù)列，
則．                                   8分
即．                              9分
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/9/1hddq3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d7/c/lxy1f1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/0/6rwc12.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                             12分
此時(shí)．                            13分
所以存在滿足題意的正整數(shù)、，且只有一組解，即，．          14分
考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法，數(shù)列的存在性問題.